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Euler y la larga sombra de la investigación

16 Abr, 2013 - - @

Desde anoche, Google anda conmemorando el 306º aniversario del nacimiento del matemático Leonhard Euler con una curiosa portada que, a todo aquel que no conozca superficialmente la obra de este genio, no le resultará demasiado reveladora. Sin perjuicio de que las biografías sean una de las mejores maneras de entender la Historia, y dado mi insuficiente conocimiento de los pormenores de la vida de Euler, no más allá de algunos datos sobre sus idas y venidas entre las cortes de Rusia y Prusia, y sobre la ceguera que no le impidió seguir siendo igual de prolífico en campos tan visuales como la geometría o la teoría de grafos, me gustaría rendirle un pequeño tributo a su obra.

En particular, en estos tiempos de debates sobre la eficiencia de la investigación científica y de lamentablemente sesgadas discusiones acerca de si debemos financiar o no estudios y proyectos inútiles (al menos en apariencia), parece procedente preguntarnos qué ha hecho Euler por nosotros tres siglos después, más allá de la famosa “fórmula más bella de las matemáticas” que ha pasado a convertirse en una suerte de viral matemático.

Podríamos enumerar un buen montón de aplicaciones prácticas y directas del estudio por parte de Euler para responder cuestiones perfectamente razonables en la tecnología cotidiana actual, y así saber por ejemplo qué presión deberían llevar las tuberías de mi ducha, cómo diseñar una montaña rusa para que alcance una velocidad decente o si ese satélite meteorológico podría descontrolarse y acabar cayendo a la Tierra. Quizá lo más interesante de todo esto es que ninguna de estas cuestiones eran realmente importantes en el momento en que Euler decidió investigar sobre ellas. Al contrario, a largo plazo se volvieron importantes porque alguien llegó a estudiarlas.

No obstante, la lista no queda ahí ni por asomo. También demostró uno de los pilares de la aritmética modular, el Teorema de Euler-Fermat. Dejaré al juicio y la paciencia de los lectores entrar en el enlace, pero quien esté lo suficientemente aburrido para hacerlo encontrará que, a nada que uno conozca la notación, el enunciado del teorema no es realmente complicado de entender. Sin embargo, en ningún momento parece factible hacer cierto aquella frase de Einstein de que uno no comprende algo hasta que no es capaz de explicárselo a su abuela. Aún más, uno no puede en principio pensar en este resultado como algo diferente a un mero juego de números, una curiosidad sin más relevancia práctica que la autosatisfacción que debía sentir un filósofo clásico al escribir un tratado de ontología.

 Afortunadamente, la necesidad hace al hombre, y en 1977 Rivest, Shamir y Adleman publican el algoritmo criptográfico RSA que hoy se encuentra en la base de la seguridad de nuestras comunicaciones cifradas, nuestras operaciones bancarias y el control de copia en contenidos protegidos por la propiedad intelectual. De una manera un tanto paradójica, la demostración de la consistencia del algoritmo RSA en el artículo original se fundamentaba en el Teorema de Euler-Fermat, aquella distracción meramente lúdica, recordando así al mundo aquello de que todas las matemáticas son matemáticas aplicadas.

Sin embargo, la invención más importante de Euler en el largo plazo no ha sido ninguna de estas, sino una mucho más sutil. Durante su estancia en la ciudad prusiana de Königsberg, correspondiente al actual enclave de Kaliningrado, Rusia, le propusieron resolver algo más parecido a un acertijo que a un problema matemático: ¿se podía dar un paseo por la ciudad de manera que se pasase por cada uno de los siete puentes sobre el río Pregel una única vez? El gran avance de Euler a la hora de resolver este problema fue plantear un punto de vista que hoy nos parece obvio, pero que en aquel tiempo no lo era bajo ningún concepto: reducir el problema a un grafo, y analizar el grafo para obtener conclusiones sobre la ciudad de Kaliningrado.

Los matemáticos llamamos grafos a objetos formados por puntos y líneas que conectan esos puntos, formando relaciones entre ellos o formas de movernos desde uno hacia el otro. Euler demostró que la cuestión sobre la existencia de ese paseo podía resolverse sin más que ver cuántas líneas salían de cada punto; y lo que es más importante, que todos los problemas equivalentes para otras ciudades también podían resolverse de exactamente la misma manera. La respuesta definitiva a la existencia de esos paseos (que hoy en día llamamos caminos eulerianos) en Königsberg fue negativa, pero, de una manera similar a las inmensas externalidades positivas de que el mundo se empeñara en enviar seres humanos a la Luna incluso cuando tenerlos allí era completamente inútil, el conocimiento que se creó en aquel momento tuvo una sutil pero determinada relevancia en la tecnología que aún no hemos terminado de presenciar.

Euler había creado sin saberlo dos de las ramas más importantes de las matemáticas. Por un lado, el subrepticio conocimiento que hoy llamamos topología, que resultó a principios del siglo XX fundamental para plantear determinadas cuestiones que subyacen a la física de partículas y a la cosmología. La otra rama es menos trascendental, pero ha impactado profundamente nuestra vida. La teoría de grafos estudia esos objetos comentados anteriormente, y los aplica para resolver cuestiones cotidianas. Cuando uno escribe un documento en un procesador de textos, la estructura interna de ese documento está basada en un grafo. Cuando uno habla con sus amigos por Facebook, lo hace gratis en buena medida porque conocemos los grafos lo suficientemente bien para que se nos envíe publicidad personalizada que los anunciantes están dispuestos a pagar. No hace falta pensar en la tecnología digital: los circuitos eléctricos analógicos se diseñan usando teoría de grafos. Cuando Mercadona diseña una planificación de tareas eficiente, lo hace usando grafos. Cuando la OMS estudia el impacto de una epidemia y planifica una campaña de vacunación, los grafos están ahí.

Pensar en la cantidad de dinero que a la larga nos ha ahorrado Euler da auténtico pánico. Irónicamente, Euler no recibió ninguna retribución por sus invenciones (no olvidemos que los matemáticos no descubrimos, inventamos) más allá de su salario como miembro de las diferentes academias a las que perteneció. Los corolarios de todo esto son sencillos. No puede hacerse “ciencia útil”, al menos no bajo los criterios en los que suele plantearse esa cuestión en una barra de bar. No existe tal cosa como “mejorar la investigación contra el cáncer”, porque uno nunca sabe en qué campo está la pieza que falta para encontrar una cura contra el cáncer. Como muestra, me gusta comentar el hecho de que uno de los campos más prometedores en ese objetivo es la investigación sobre fluidos y materiales paramagnéticos con los que crear cápsulas intravenosas con quimioterapia que puedan ser dirigidas con un campo magnético hacia el lugar donde se encuentra el tumor, haciendo la terapia mucho menos agresiva.

No consigo pensar de qué manera podría un contemporáneo de Euler haberse imaginado para qué habrían servido conocimientos abiertamente inútiles como el Teorema de Euler-Fermat o el problema de los puentes de Königsberg. De lo que sí estoy seguro es de que las ganancias generadas en la sociedad tres siglos y tres revoluciones industriales después van mucho más allá de lo que sus mecenas calcularon, y de lo que ningún inversor privado hubiera estado dispuesto a plantearse; entre otras cosas, porque los efectos positivos llegaron mucho después de que cualquiera de esos inversores estuviera criando malvas. Sirva esta pequeña reflexión sobre el papel de los científicos en la sociedad como homenaje a un genio que sigue siéndonos rentable.


25 comentarios

  1. Marc dice:

    Que nostalgia de la carrera el estudio de los grafos.
    Ya que comentas los grafos, ahora muchos pueden entender porque el motor de búsqueda que está creando Facebook se llama GraphSearch:
    https://www.facebook.com/about/graphsearch

  2. Y es que los científicos deben investigar en ciencia básica sin preocuparse de si lo que han investigado servirá para algo. Eso ya es función de los ingenieros, los cuales usarán las herramientas y conocimientos descubiertas por la ciencia base para desarrollar aplicaciones prácticas.

    • Angel dice:

      No solo eso. Como los científicos se empeñan en investigar cosas cada vez más complicadas y difíciles de observar, es necesario crear tecnología nueva. Es decir, no es solo que los ingenieros se aprovechen de la ciencia básica, sino que hoy en día la ciencia básica obliga a los ingenieros a enfrentarse a problemas completamente nuevos.

  3. Adrián Rebola dice:

    Como siempre en estas cosas, es difícil hacer afirmaciones infalibles. En ciencia básica se estudian muchas cosas que probablemente nunca servirán para absolutamente nada.

    El problema es bastante tonto: que es dificilísimo saber de antemano cuáles son.

    • Adrián Rebola dice:

      Como apunte, sirva decir que Euler dedicó buena parte de su tiempo a estudiar los números perfectos, un campo que en su momento se consideraba filosóficamente muy relevante pero que con el tiempo ha demostrado tener la misma utilidad que un crucigrama.

  4. Ender dice:

    Enhorabuena: un bello homenaje a la ciencia y a su papel en el devenir humano.

  5. Jaime dice:

    Gracias por el artículo y por el homenaje.

    Simplemente puntualizar que eso de que los matemáticos no descubren, sino que inventan, es como poco dudoso… Depende del grado de platonismo del matemático en cuestión, pero creo que la mayoría tiene la sensación de que los teoremas son descubrimientos. Y estoy casi seguro de que Euler los percibía así, en gran parte por sus fuertes convicciones religiosas.

    • Adrián Rebola dice:

      Efectivamente, la barrera entre los descubrimientos y los inventos es difusa: descubrir una ley natural bien puede considerarse como inventar una fórmula que se ajusta a nuestras observaciones. Cuando escribí esa frase estaba pensando en el hecho de que los matemáticos no “descubrimos” cosas sobre el mundo, sino que más bien inventamos cosas coherentes con unos axiomas que no son más que ficción. Si bien lo mismo puede decirse en un sentido laxo sobre las ciencias naturales.

      • Jaime dice:

        Ahora entiendo por qué tenemos visiones diferentes.

        Hay dos tipos de matemáticos. Para unos, en los que te incluyo (y espero no equivocarme), las matemáticas son básicamente como el ajedrez. El ser humano inventa unas normas (axiomas y reglas de deducción), y construye un edificio a partir de esos cimientos. Formalmente las dos áreas del pensamiento son iguales. En el sistema axiomático-deductivo del ajedrez también hay teoremas: “Rey y torre contra rey puede dar mate”, “Rey y alfil contra rey no puede dar mate”, son dos ejemplos.

        La diferencia sería que además las matemáticas tienen una cualidad explicativa sobre el mundo exterior que el ajedrez no tiene (aunque se ha escrito mucho sobre cómo el ajedrez es un reflejo del universo, de la vida, de la guerra y de tantas otras cosas…).

        Para este grupo de matemáticos, lo que queda claro es que ni el ajedrez ni las matemáticas existían antes de que el ser humano los creara en su mente.

        Para otros, entre los que me incluyo (también estudié matemáticas), los axiomas no son en absoluto una ficción, un invento del hombre. Y esto es lo que diferenciaría claramente el ajedrez de las matemáticas. El ajedrez no existía antes de que alguien concibiera ese juego en la antigua India. Las matemáticas, en cambio, sí. El teorema de Pitágoras existía y era verdadero mucho antes de que Pitágoras lo formulara y demostrara.

        Esta concepción plantea numerosos problemas. Para empezar, requiere una visión platónica del mundo, porque no está claro “dónde” viven los conceptos matemáticos. ¿En el mundo de las ideas? ¿En la mente de Dios? Es algo que hay que resolver. Pero al menos concuerda con la “sensación” que muchos experimentan al investigar en matemáticas, cuando sienten que están “descubriendo” y “explorando” un mundo ajeno a ellos mismos, y no que estén creando cosas, incluso cuando den definiciones de nuevos objetos.

        Para los que defendemos esta postura, es fácil explicar mediante ella el poder descriptivo de la realidad que poseen las matemáticas. Y también su universalidad.

        ____

        Perdón por el tocho…

        Un saludo,

        Jaime

        • J.E dice:

          Yo lo que no conocía era este debate sobre la naturaleza de las matemáticas, y agradezco leer el intercambio de opiniones.

          • Jaime dice:

            Gracias a ti. 🙂

            Es un debate muy viejo ya, jeje. ¿Y tú qué opinas?

            • J.E dice:

              Nunca he sido afecto al platonismo, así que me coloca en el bando de los jugadores de ajedrez.
              Pero claro, por prejuicio filosófico. Acabo de descubrirlo, y esto merece un par de vueltas de cabeza.

              • Jaime dice:

                Sí, yo también comparto esas reservas (y en no pocas discusiones con compañeros más platónicos he actuado de abogado del diablo defendiendo lo contrario). Pero hay matemáticos y científicos de la talla de Roger Penrose que defienden esta postura platónica con mucha claridad. He encontrado aquí un fragmento de un libro suyo que lo explica muy bien:

                http://dialecticayanalogia.blogspot.com.es/2012/07/he-empezado-leer-el-camino-de-la.html

              • Adrián Rebola dice:

                Efectivamente, son dos visiones muy diferentes y probablemente la verdad esté en un punto medio entre las dos. Las matemáticas, al menos las matemáticas bourbakianas que tan mal caen últimamente, son un conocimiento puramente platónico. Pero, como decía Feynman, no es por eso por lo que las hacemos.

                A lo que me refería esencialmente es a que las estructuras que utilizan los matemáticos son invenciones (sinceramente, soy incapaz de ver el concepto de coálgebra como una cosa diferente a una invención). Ahora bien, igual que cuando uno sólo tiene un martillo todo le parecen clavos, siempre he tenido la impresión de que el mundo físico acaba siendo descrito por las matemáticas porque… es realmente el único conocimiento formal que tenemos. En el momento en el que uno “formaliza” un conjunto de conocimientos sobre el mundo, está introduciendo una estructura matemática; y cada vez que uno trata con un conjunto de conocimientos sin esa estructura, tiene la impresión de que está incompleta y se reduce a heurísticas poco concretas.

                No estoy seguro de haber explicado bien lo que quería decir con esa frase. De cualquier manera, quizá era el último punto del texto sobre el que quería atraer la atención 😛

                • Jaime dice:

                  Jajaja, ya, esta discusión es bastante off-topic de hecho. Pero no deja de ser interesante, al menos a mí estos temas filosóficos me gustan.

                  Entiendo lo que quieres decir: que es nuestra forma de percibir el mundo la que nos hace traducir los acontecimientos externos al lenguaje matemático y construir modelos a partir de ellos. Digamos que no es que el mundo sea esencialmente matemático, sino que somos nosotros los que lo “matematizamos”.

                  Algo de verdad puede haber en eso, pero en todo caso ya estamos rozando temas metafísicos, en los que las creencias de cada uno acaban decidiendo qué postura tomar. Yo tiendo a pensar que el universo es racional (lo cual implica matemático), y que la razón del ser humano participa por así decirlo de la razón universal, permitiendo así que se haga ciencia.

                  De hecho, son ya varios los historiadores de la ciencia que han señalado que ésta nació en Occidente y no en otro lugar gracias a la influencia de la escolástica con su visión de la racionalidad del mundo como proyección de la racionalidad divina. Esa confianza en que las cosas se comportan de forma racional es la que permite que el ser humano las estudie de ese modo. Es una concepción muy distinta a la de muchas filosofías orientales, en las que se entiende la realidad como un engaño para los sentidos, “el velo de Maya”.

                  Esto no demuestra nada, pero creo que es interesante. 😀

                  • Cobra dice:

                    Jaime me ha impresionado enormemente tu disquisición sobre la naturaleza de las matemáticas.
                    Yo había llegado a las mismas conclusiones que tú después de leer los volúmenes de “Variedades diferenciables y analíticas” y “Grupos y álgebras de Lie”.
                    Además he tenido el placer de asistir al último Seminario Bourbaki anual y pude comprobar por mí misma que este debate existe desde hace muchísimos años ya, pero te agradezco tu forma clara de exponerlo y de dar lugar a esta sana discusión.
                    Enhorabuena.

                    • Jaime dice:

                      Muchas gracias, estimado Cobra. Es un honor que alguien que ha estado en el selecto seminario Bourbaki se digne a contestarme.

  6. Ferran dice:

    Adrián, por favor, no abuses tanto de las comas. Los puntos son útiles. Sobre todo por el primer párrafo.

    A parte de eso, me parece bastante acertado lo que dices. Quizás, falta decir que no es solo fundamental una buena inversión en investigación, sino también una mejor y maoyr comunicación y difusión científica.

  7. Miguel dice:

    Adrián, podrías desarrollar esta afirmación un poco, por favor? “No olvidemos que los matemáticos no descubrimos, inventamos”. Intuitivamente, yo afirmaría lo contrario.

    Gracias de antemano y felicidades por el post!

  8. Francisco dice:

    “las biografías sean una de las mejores maneras de entender la Historia”

    Usted no ha oido hablar de Fernand Braudel y de la “longue durée”, ¿verdad?

    • J.E dice:

      Eso son dos debates en sí mismo:
      a. el relación de las tendencias (la “longue durée) y las coyunturas (la “historia eventual”), las dos innegables, pero que cada uno le da una importancia diferente.
      b. el valor histórico de las biografías como estudio de las causas (la Historia fue así porque Pepito lo hizo así) o como medio de comprender la época (Pepito hizo esto porque su época era esta).

      De todos modos, creo que el autor lo deja un poco en suspenso (“sean”).

    • Adrián Rebola dice:

      Entre el artículo indeterminado y el determinado existen importantes diferencias. Este es uno de esos casos.

  9. Folks dice:

    Sobre cuán equivocados podemos estar sobre la no utilidad de la ciencia básica, una anécdota: el matemático G.H.Hardy escribió poco antes de la segunda guerra mundial “A mathematician’s Apology”, una disculpa por lo poco últil de las matemáticas. En el libro llega a decir:

    “No one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers or relativity, and it seems unlikely that anyone will do so for many years.”

    Lo cual, visto hoy, resulta totalmente erróneo. Además, sus flirteos con las matemáticas relacionadas con poblaciones, que acabaron con cosas como el principio de Hardy Weinberg, (http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy%E2%80%93Weinberg_principle) hoy en día sí que tienen (hasta donde sé, no es mi campo) bastante utilidad en genética y evolución.

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